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OpenAI, AI로 찾은 밀레니엄 난제 ‘나비에-스토크스’ 해법 공개

(openai.com)2P by GN⁺ 7시간전 | ★ favorite | 댓글 1개

• 약 90년간 미해결이던 3차원 유체 운동의 매끄러움 문제에 대해, 내부 AI 시스템이 찾아낸 해석적 증명과 컴퓨터로 검증할 수 있는 Lean 형식화를 공개함
• 매끄러운 외력이 작용하는 정지 상태의 유체에서도 유한 시간 안에 속도가 무한히 커지는 특이점이 생길 수 있음을 증명했다고 밝힘
• 해법은 안쪽으로 말려들면서 길게 늘어나는 소용돌이를 구성하는 방식임. 중심 영역이 작아지며 속도는 무한히 커지지만 에너지는 유한하게 유지되고, 방정식의 커지는 항들이 서로 상쇄돼 외력은 매끄럽게 남음
• GPT-6 Astra보다 훨씬 강력하다는 미공개 내부 모델과 약 1만 개의 동시 에이전트를 활용했으며, 최초 가동 약 88시간 뒤 해법에 도달하고 Astra를 통한 Lean 형식화와 검증에 17시간을 추가로 사용함
• 먼저 외력이 없는 Euler 방정식의 관련 문제를 푼 뒤 그 결과를 바탕으로 탐색을 집중했으며, 연구진이 에이전트 그룹의 접근법과 중간 결과를 연결함. 나비에-스토크스 해결 과정에만 출력 토큰 약 1,300억 개를 사용함
• 동시 연구자들의 비공개 결과를 열람하거나 문제 해결을 위해 특정 사용자 데이터에 접근하지 않았다고 밝히면서도, 제품 사용에서 나온 비식별 데이터가 모델 개선에 기여했을 가능성은 배제하지 못함
• OpenAI는 밀레니엄 상금을 청구할 의사가 없음을 밝힘. AI 역량의 진전을 알리기 위해 결과를 공개했다고 밝힘. 모델의 능력을 이해하고 이를 바탕으로 후속 개발의 방향과 속도를 조절하는 데 집중함

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문제의 조건과 수학적 배경

• Navier–Stokes 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙인 F=ma로 유체 운동을 기술하며, 개별 분자를 추적하는 대신 유체를 연속 매질로 취급함. 항공기 설계, 일기예보, 혈류 연구에 사용됨
• 핵심 질문은 밀도가 일정한 3차원 비압축성 유체가 매끄럽게 운동을 시작하더라도 유한 시간 안에 속도가 무한히 커지는 특이점을 형성할 수 있는지임
  • 운동을 매끄럽게 만드는 점성이 존재하는데도 특이점이 발생할 수 있는지가 쟁점임
  • 실제 유체는 무한히 빠르게 움직일 수 없으므로, 특이점은 연속체 근사에 기반한 유체 모델의 붕괴를 뜻함. 이후에도 계를 모델링하려면 개별 입자의 거동을 추적해야 함
• 방정식은 19세기 Claude-Louis Navier와 George Gabriel Stokes의 연구에서 출발함
  • Jean Leray는 1934년 일반화된 의미에서 해가 존재함을 증명했지만, 해가 항상 매끄럽게 유지되는지는 약 90년 동안 미해결 상태였음
  • Clay Mathematics Institute는 2000년 이 문제를 7개 밀레니엄 상금 문제 중 하나로 선정함

공개한 증명과 특이점의 구조

• OpenAI는 내부 시스템이 도출한 해석적 증명 과 Lean 형식화 를 공개함
  • 처음에는 정지해 있고 매끄러운 유체에 매끄러운 외력이 작용할 때, 유한 시간 안에 특이점이 발생함을 증명했다고 밝힘
  • 정지 상태부터 특이점 형성까지 전 과정에서 유체의 에너지는 유한하게 유지됨
  • 이 결과로 공식 밀레니엄 상금 문제 정식화의 명제 C와 D를 입증했다고 밝힘
• 해의 중심은 안쪽으로 나선 운동하면서 스파게티처럼 점점 길게 늘어나는 소용돌이임
  • 중심 영역은 수축하고 속도는 증가하지만, 물리 법칙이 요구하는 유한한 에너지는 유지됨
  • 무한한 힘을 외부에서 넣는 방식이 아니라 유체 자체의 운동으로 특이점이 생겨야 한다는 점이 기술적 난제임
• 가속도, 압력 기울기, 운동량 전달, 점성을 기술하는 항들이 커지는 동시에 정밀하게 상쇄돼야 함. 이 균형 덕분에 유체 속도가 무한히 커져도 외력은 매끄럽게 유지됨

내부 모델과 다중 에이전트 탐색

• OpenAI는 GPT‑6 Astra보다 훨씬 강력한 내부 모델을 사용함. 과학자가 인류에 도움이 되는 연구와 기술을 발전시키도록 지원하고, AI 진전 속도와 후속 모델에 대한 기대를 알리는 것을 목표로 삼음
  • 8월 28일부터 학습한 모델은 수학을 포함한 내부 벤치마크에서 전례 없는 성능을 보였으며, 학습과 성능 향상이 계속되고 있음
  • 9월 1일 화요일, 밀레니엄 상금 문제 두 개가 해결됐다는 소문과 내부 모델의 성능 도약을 계기로 모든 미해결 밀레니엄 문제 및 일부 영향력 큰 문제에 대한 평가를 시작함
• 협력 에이전트 시스템에는 캐시된 인터넷을 읽는 도구와 코드 실행 기능이 주어졌으며, 에이전트들은 그룹 안에서 서로 소통할 수 있었음
  • 그룹별 규모는 달랐으며, Navier–Stokes 해법을 찾은 그룹에는 약 1만 개의 동시 에이전트가 참여함
  • 모든 과정에서 최첨단 모델 평가에 적용하는 엄격한 모니터링·격리 안전조치를 유지함
• 각 문제의 여러 정식화를 서로 다른 그룹에 배정함. Navier–Stokes에서는 증명에 해당하는 A·B와 반증에 해당하는 C·D를 별도 그룹에 제안함

Euler 문제 해결에서 Navier–Stokes 집중까지

• 전체 밀레니엄 문제 외에 상대적으로 “더 쉬운” 문제들도 시도했으며, 그중 하나가 점성 항을 제거한 극한인 Euler 방정식의 정칙성 문제였음
  • 에이전트들은 외력이 전혀 작용하지 않는 무외력 문제에서 특이점 발생을 통해 정칙성을 반증함
  • 약 100개 에이전트가 약 50시간 협업했으며, Euler 증명 논문과 Lean 형식화를 공개함
• Euler 해법을 확보한 뒤 Navier–Stokes를 가장 유망한 문제로 판단해 자원을 집중함
  • 다른 밀레니엄 문제에 배정했던 에이전트들을 이동시키고 Euler 해법을 프롬프트로 제공함
  • 작업 도중 추가 학습된 내부 모델이 준비되자 에이전트의 모델을 갱신함
• 그룹마다 다양한 접근법을 탐색하도록 유도한 뒤, Codex로 각 그룹의 유용한 통찰을 통합해 다른 그룹에 전달함
  • 후속 프롬프트에는 에이전트 스스로 도출한 중간 결과를 활용함
  • Navier–Stokes 해법을 찾은 그룹에도 같은 방식으로 탐색을 안내함

소요 시간과 계산 규모

• 에이전트들은 최초 가동 약 88시간 뒤인 9월 5일 토요일 해법에 도달함. 이후 GPT‑6 Astra를 통한 Lean 형식화·검증에 17시간이 추가로 걸림
• 모든 시도에서 에이전트들이 교환한 메시지는 490만 개, 출력 토큰은 약 3,000억 개에 달함
  • 이 중 Navier–Stokes 해결 과정에 사용한 메시지는 270만 개, 출력 토큰은 약 1,300억 개임

동시 연구와 데이터 사용에 관한 입장

• 9월 1일 들은 소문은 나중에 Anthropic 직원 Levent Alpöge와 NYU 수학 교수 Tristan Buckmaster의 연구와 관련된 것으로 파악됨
  • 전체 프로젝트와 Lean 검증을 마친 9월 6일, OpenAI는 두 연구자도 Navier–Stokes 해법을 확보했다고 생각해 동시 공개와 공동 발표에서의 선행 성과 인정을 제안함
  • 접촉 후 두 연구자의 결과가 외력이 있는 Euler 문제의 해법임을 확인함
  • 논의 중 사용한 모든 프롬프트를 열람하도록 제안했고, 이후 증명도 보여주겠다고 제안함. 외력이 있는 Euler 문제에 대한 두 연구자의 선행 성과를 인정함
• OpenAI는 연구진과 에이전트가 상대 연구의 공개 전까지 어떤 경로로도 그 내용을 보지 않았으며, 문제 해결을 위해 특정 사용자 데이터에 접근하지 않았음을 밝힘
  • 다만 가능성은 낮지만, 두 연구자의 제품 사용에서 파생된 비식별 데이터가 모델 개선에 기여했을 가능성은 배제하지 못함
  • 두 증명은 상당히 다르며, Euler의 경우 입증한 결과 자체도 외력 유무에서 차이가 있음

공개 목적과 발전 속도에 대한 책임

• 결과 공개의 목적은 AI 모델의 상당한 진전을 알리는 것이며, OpenAI는 이 결과로 밀레니엄 상금을 청구할 의사가 없음
• 이번 성과에는 수학자와 AI 연구자들의 상당한 작업이 축적돼 있지만, AI 개발의 완성이 아니라 진행 중인 발전의 한 시점에 해당함
• OpenAI는 AI 발전의 다음 단계에 진입했다고 판단하며, 모델을 이해하고 그 과정에서 얻은 지식을 후속 역량 향상의 방향과 속도 조절에 활용하는 데 집중함
• 핵심 목표는 사람이 조종할 수 있고, 책임성을 갖추며, 사람과 연결된 AI 시스템을 구축하는 것임. AGI가 인류 전체에 이익이 되도록 하려면 발전 속도에 대해 더 신중한 선택이 필요할 수 있음

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